Ain Terre Maths
Les mathématiques
en Pays de Gex

Accompagnement personnalisé

1 Présentation

1.1 Présentation

Les mathématiques sont une composante active de la pensée humaine, elles prennent racine dans la nécessité où nous nous trouvons de connaître et de comprendre le monde dans lequel nous vivons. Elles permettent, par un travail de l’esprit, de repousser toujours plus loin les limites de l’univers connu et proposent, en demandant de s’abstraire de la réalité sensible, une voie pour atteindre la raison première des choses. L’activité mathématique dont les premières traces remontent à l’aube des civilisations s’est considérablement amplifiée depuis quelques siècles. Une multitude de questions sont posées quotidiennement dont certaines, très difficiles, nécessitent l’exploration de domaines encore inconnus.

2 Démonstrations et conjectures

2.1 problème de la quadrature du cercle (Papyrus Rhind)

L’exemple historique du problème de la quadrature du cercle montre que cette exploration peut durer plusieurs siècles. Rappelons qu’il s’agit, partant d’un cercle, de trouver un moyen de tracer à la règle et au compas un carré qui occupe la même surface. Ce problème, dont il est fait mention dans le papyrus Rhind datant de 1650 avant J.-C., a suscité au cours des âges les efforts de très nombreux mathématiciens. Il ne fut finalement résolu qu’à la fin du XIXe siècle, par la négative : un tel tracé est impossible. Et pour parvenir à ce résultat, les mathématiciens ont dû se livrer à une étude approfondie de la véritable nature du nombre π. Ainsi, la réponse à une question mathématique suppose souvent la compréhension en profondeur des problèmes qu’elle soulève. Une fois le problème résolu, la solution prend la forme d’une démonstration, c’est-à-dire d’un cheminement logique qui, partant de faits considérés comme vrais, se développe au moyen d’une suite de déductions pour aboutir à la conclusion espérée. Ainsi étayé par une démonstration, non seulement le résultat obtenu acquiert le statut de fait mathématique, mais il offre souvent une nouvelle perspective et une compréhension dépassant le strict cadre de la question de départ.

2.2 Démonstrations et conjectures

En général, une question étant posée, il est difficile de découvrir ce fameux cheminement qui mène à la solution, ceci explique pourquoi de nombreuses questions très anciennes demeurent encore en suspens. Confronté à de telles questions, le mathématicien est souvent conduit à s’intéresser à des cas particuliers ou des questions annexes plus accessibles. Ces questions particulières, qui peuvent paraître bien anecdotiques, offrent parfois, l’histoire l’a montré, des lumières décisives sur les questions les plus générales. Ce passage du particulier au général n’est pas propre aux mathématiques et se rencontre dans tous les savoirs. À cet égard, la légende selon laquelle une simple pomme tombant de son arbre aurait inspiré à Isaac Newton les grands principes de la gravitation universelle, est révélatrice de la fécondité attribuée à cette démarche. De façon plus avérée, c’est l’observation de colonies de pinsons très particulières à certaines îles des Galapagos qui a suggéré à Darwin sa théorie générale de l’évolution des espèces.

Face à une question, qu’elle soit annexe ou fondamentale, le savant peut se trouver dans deux situations : il peut avoir une conviction intime de la réponse, sans être capable de la démontrer, ou au contraire, n’avoir aucune idée de celle-ci. Bien entendu, son travail est grandement facilité s’il se trouve dans le premier cas ; autrement dit, lorsqu’il dispose en ligne de mire d’une idée de la réponse qui soit suffisamment fondée pour servir de guide à la démonstration. Cette idée, ce moyen terme entre la question et la réponse, s’appelle une conjecture, c’est une réponse plausible, une réponse en suspens, en attente d’une démonstration. Cette attente peut être longue – parfois plusieurs siècles – et de très nombreuses conjectures demeurent encore aujourd’hui sans réponse ; c’est l’une d’entre elles, la conjecture de Kakeya, qui nous accompagnera tout au long de cet ouvrage.

Extrait du livre de Vincent Borrelli et Jean-Luc Rillière : En cheminant avec Kakeya.